Un tempo i calcoli venivano svolti tutti a mano. Katherine Johnson, protagonista de Il diritto di contare, di professione faceva proprio questo. Ma, il calcolo manuale può davvero competere con una macchina?
Nell’era digitalizzata e tecnologicamente avanzata nella quale viviamo, si tende spesso a dare per scontato ciò che scontato non è. Riuscireste, ad esempio, ad immaginare la vostra vita senza la calcolatrice? Ci sopravvivereste, questo è ovvio, e chi non necessita del calcolo matematico nel quotidiano probabilmente neppure se ne accorgerebbe. Pertanto, non vi chiediamo di immaginare la vostra vita personale senza calcolatrice, ma in generale quella di una società (quella umana) che da sempre ha la tendenza a esporsi verso l’ignoto, addentrandosi in un percorso sempre più complesso, che necessita di altrettanti complessi calcoli. A questo punto è facile immaginare che senza la calcolatrice tutto sarebbe molto più complicato, e i risultati raggiunti dalla tecnologia sarebbero arrivati, probabilmente, in molto più tempo. È da quando sono stati progettati i primi calcolatori, difatti, che la tecnologia ha intrapreso un’incredibile crescita di tipo esponenziale. Ma, non va scordato che anche prima di allora l’uomo ha raggiunto risultati eccellenti, come ad esempio l’approdo nello spazio, esperienza che ha richiesto un’enorme capacità di calcolo numerico: come avrà fatto l’uomo, senza calcolatrici, a calcolare numeri talmente complessi tali da portare sé stesso nello spazio?
Le calcolatrici de Il diritto di contare
Tutto ciò fu possibile grazie alla presenza di particolari figure lavorative (e ciò era abbastanza intuibile) chiamate calcolatori (se di sesso maschile) o calcolatrici (se di sesso femminile). In pratica, le macchine che oggi questi termini indicano (il computer o calcolatore e la calcolatrice) trovano i loro antenati in niente meno che in delle figure umane. A questo proposito, vogliamo introdurvi alla bellissima pellicola cinematografica di Theodore Melfi, Il diritto di contare, film del 2016 tratto da una storia vera, che ha come protagonista niente meno che una calcolatrice umana, Katherine Johnson, impiegata della NASA e responsabile dei complessi calcoli che avevano portato John Glenn in orbita intorno alla Terra, pareggiando i risultati dell’URSS. Il film è incentrato particolarmente sulla segregazione razziale (siamo negli anni Sessanta) e sul terribile razzismo contro le persone di colore, essendo la stessa protagonista un’afroamericana, a cui spesso non bastano le grandi dimostrazioni di talento nel calcolo numerico per guadagnarsi il rispetto dei colleghi. Noi invece vogliamo porre la nostra attenzione, dato il tema del nostro articolo, sul contrasto fra calcolo umano e calcolo automatico. Nel corso della vicenda narrata nel film, infatti, il posto di lavoro di Katherine e delle sue colleghe viene messo in bilico dalla nascita dei primi calcolatori IBM (gli antenati dei moderni computer), tant’è che gli ultimi calcoli prima del lancio dell’astronave di John Glenn, furono eseguiti proprio dal computer e non da Katherine. Il caso volle però, che il giorno del lancio si scoprirono delle imperfezioni nelle traiettorie di rientro calcolate dall’IBM, che portarono la NASA, sotto insistenza dello stesso Glenn, a richiedere a Katherine di correggere i calcoli, fidandosi più della mente umana, che della macchina. I calcoli di Katherine si rivelarono corretti, e permisero a Glenn di rientrare sano e salvo sulla Terra, evitando di bruciare al contatto con l’atmosfera terrestre. In seguito a tale successo, Katherine condusse anche i calcoli per le successive missioni Apollo 11 (quella del primo sbarco sulla Luna) e Apollo 13.
La formula di Taylor e lo sviluppo di McLaurin
Si tratta certamente di una grande vittoria, che dimostra l’enorme talento nel calcolo di Katherine Johnson. Tuttavia, rimangono, a primo impatto, dei grossi dubbi su come certi tipi di calcolo possano essere stati svolti da un essere umano. Se prendiamo ad esempio il logaritmo naturale di 2 (ln 2), quanti di voi saprebbero dargli un valore esatto? Di norma, nel corso degli esercizi di matematica, siamo soliti infatti lasciare un valore del genere in questa annotazione (e cioè ln 2), senza scrivere l’esatto valore reale corrispondente. O, se proprio vogliamo scriverne l’esatto valore reale, usiamo la calcolatrice. A questo punto sarà facile verificare che ln 2=0,69314718, approssimando all’ottava cifra. Ma senza calcolatrice come avremmo fatto? O, se vogliamo porla diversamente, come fa la calcolatrice a darci quel valore senza utilizzare essa stessa una calcolatrice? Il segreto è un’approssimazione del reale valore di ln 2, attraverso un escamotage matematico: la formula di Taylor, con i conseguenti sviluppi di McLaurin. La formula di Taylor altro non fa che prendere una qualsiasi funzione f(x) (nel nostro caso f(x)=ln x, dove x indica un valore generico da attribuire all’argomento del logaritmo) e trasformarla in un polinomio (il Polinomio di Taylor) al quale si somma un piccolo errore trascurabile (tanto più trascurabile quanto più il grado del polinomio di Taylor è alto). La formula di Taylor nella sua forma generale è la seguente:
f(x)= f(x_0) + f’ (x_0)(x-x_0 ) + (f” (x_0 ) (x-x_0 )^2)/2! + (f^((n) ) (x_0 ) (x-x_0 )^n)/n! + o((x-x_0 )^n)
dove la parte in rosso rappresenta il polinomio di Taylor e la parte blu l’errore trascurabile (in questo caso generale di ordine n, dal momento che anche il polinomio è di grado n). Si dimostra che nel caso particolare del logaritmo naturale, che stiamo analizzando, per x che tende ad x_0=0, si ha:
ln(1+x)=x – x^2/2 + x^3/3 – x^4/4 + x^n/n + o(x^n)
Un esempio dimostrativo
Di conseguenza il nostro ln 2, che può tranquillamente essere visto come ln (1+1), dove quindi la x della formula generale corrisponderà a 1, sarà uguale a:
1 – 1^2/2 + 1^3/3 – 1^4/4 + 1^5/5 – 1^6/6 + 1^7/7 – 1^8/8 + o(1^8) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – 1/8 + o(1) = 0,63452381.
Com’è facile osservare il valore si avvicina molto a quello che avevamo trovato con la calcolatrice (ln 2=0,69314718) e se andassimo avanti ci avvicineremmo sempre di più. Al contempo però ci avvicineremmo anche sempre più lentamente, e questo è il forte limite di questa formula se applicata dall’essere umano, e conseguentemente quella del calcolo umano rispetto a quello di una macchina, che ci metterebbe molto meno tempo. Ma quello che fa una calcolatrice è esattamente applicare questa formula, per cui se vorreste un giorno calcolare il logaritmo di un numero naturale facendo a meno dell’uso della calcolatrice, vi basterà armarvi di pazienza e applicare la formula di Taylor.
